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Este documento está pensado para quienes les resulta nueva la teoría de conjuntos en música y es complemento de la Calculadora de Teoría Musical. Las instrucciones específicas para el empleo de la misma están escritas en verde. |
Después de Brahms, la tonalidad en la música occidental empezó a descomponerse. Mientras que antes los compositores se basaban en un tono y área específica alrededor del cual organizar las notas (por ejemplo, un concierto en Do Sostenido Menor), la idea de una estructura tonal de base había quedado trasnochada entrando en el siglo XX.
Los compositores necesitaron un nuevo sistema para organizar sus tonos. Arnold Schoenberg encabezó el movimiento empezando a escribir música atonal en 1908. Hacia 1923 había desarrollado completamente un sistema de "12 tonos" bajo el cual el compositor organiza las 12 notas en una fila ordenada que somete a diversas manipulaciones para generar el contenido tonal de la composición. Este sistema es conocido como 'serialismo'.
La Teoría Musical de Conjuntos no es lo mismo que el serialismo, pero ambas comparten muchos métodos e ideas. La Teoría de Conjuntos contempla la definición de conjuntos de notas y organiza la música alrededor de estos conjuntos y sus distintas manipulaciones. El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzos de los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schoenberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido tonal en sus trabajos. Ten presente que los conjuntos y sus clases determinan únicamente el contenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con sus deseos artísticos.
En su día, Mozart, Haydn, y Beethoven fueron englobados colectivamente como "La Escuela Vienesa" de los compositores. Las ideas de Schoenberg sobre la música fueron tan poco ortodoxas y cambiaron tan radicalmente la faz de la historia de la música, que junto con dos de sus discípulos en Viena, Alban Berg y Anton Webern, son conocidos como "La Segunda Escuela Vienesa".
Un Conjunto Tonal es simplemente una colección desordenada de entre 12 notas. Las doce únicos notas del teclado (en una octava) son numeradas de 0 a 11, empezando por 'Do'. Por ejemplo, el conjunto tonal de las notas Do, Mi, Sol se puede escribir como (0,4,7). Los compositores tratan estos conjuntos con diversos grados de libertad cuando aplican el método a su música atonal.
El conjunto (0,1,6) se hizo tan popular entre Schoenberg y sus discípulos que ha sido bautizado como "El Tricorde Vienés".
Cuando la calculadora se inicia, el conjunto (0,1,6) es el que
aparece por defecto. Para introducir un nuevo conjunto, puedes elegir entre:
o bien
Simplemente escribir sobre el campo "Conjunto tonal" y presionar la tecla 'Enter'. Cuando escribas un conjunto, asegúrate de que los números quedan separados por comas. Cualquier número superior a 11 se reducirá automáticamente a su equivalente módulo 12. Los espacios en blanco serán ignorados.
Tu elección quedará señalada automáticamente sobre el anillo de números y sobre el teclado del piano. Para oír tu conjunto tonal, pulsa el botón "Toca" que aparece bajo el teclado. Puedes elegir entre escuchar las notas una a una (melodía) o simultáneamente (acorde). En el primer caso, se respetará el orden del conjunto. Puedes usar el botón "Rotar" para cambiar este orden.
Una melodía es invertida cambiando la dirección de los intervalos. Si el original es una tercera menor, la inversión devolverá una tercera menor. En la Teoría de Conjuntos, cualquier nota puede ser invertida por substracción de 12 (la inversión de 1 es 11, la de 2 es 10, etc; 0 y 6 son inversos de sí mismos).
Si observas el anillo de números, la inversión de un conjunto produce su imagen reflejada en un espejo. El eje de inversión es la recta que une 0 y 6, así que verás la inversión como si el original sufriese una reflexión horizontal.
Para invertir el conjunto en la calculadora, pulsa el botón "Invertir" en la parte derecha de la pantalla. Observa en el anillo de números que el conjunto queda reflejado respecto al original.
También puedes obtener el complementario de un conjunto pulsando sobre el botón "Complementario". Esto cambia el conjunto por uno nuevo en donde figuran todas las notas que no pertenecían al conjunto original.
Los conjuntos pueden ponerse en Intervalo Mínimo, que es una forma de ordenar las notas del conjunto de manera que sea la más 'compacta'. Esto significa que el mayor de los intervalos entre dos notas consecutivas pase a ser el que separa la primera y última nota. Si miras el anillo de números, el Intervalo Mínimo representará el recorrido más corto que recorra todas las notas.
El conjunto (2,9,10), por ejemplo, no está escrito como Intervalo Mínimo porque el intervalo entre 2 y 9 es mayor que el intervalo entre 9 y 10 o entre 10 y 2. Para poner el conjunto (2,9,10) como Intervalo Mínimo, deberás escribirlo como (9,10,2) Así, el intervalo más grande quedará "fuera".
Si no existe ningún intervalo mayor que el resto, entonces el Intervalo Mínimo es la representación del conjunto "más compacta hacia la izquierda", esto es, en la que los intervalos más pequeños queden al principio del conjunto y los mayores al final.
Por ejemplo, (0,2,3,7) está más compactado a la izquierda que (0,4,5,7) porque el mayor intervalo en el interior de (0,2,3,7) está entre 3 y 7 (o "a la derecha"), mientras que el mayor intervalo en el interior de (0,4,5,7) está entre 0 y 4, más cerca de la izquierda.
La calculadora encuentra automáticamente el Intervalo Mínimo de cada conjunto.
Si obtienes el Intervalo Mínimo de un conjunto y el Intervalo Mínimo de su inversión, entonces su Forma Básica es el conjunto más "compacto" de los dos anteriores, trasladado al 0.
Por ejemplo, considera el conjunto (7,8,2,5), que llamaremos A.
Como (4,5,7,10) está más compactado a la izquierda que (2,5,7,8), elegimos (4,5,7,10) y lo trasladamos para que comience en 0. Obtenemos (0,1,3,6) que es la Forma Básica.
¿Para qué se utiliza?
La Forma Básica es una abstracción de las clases de conjuntos que nos ofrece una única "imagen" de esa colección particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma Forma Básica podemos asegurar que sonarán parecidos uno al otro. Los conjuntos con la misma Forma Básica contienen el mismo número de notas y la misma colección de intervalos entre ellas, así que existe una cierta equivalencia auditiva, de la misma forma que todos los acordes mayores son auditivamente equivalentes en la música tonal.
Las representaciones en Forma Básica también son nombradas como "Clases de Conjuntos". Por ejemplo, los conjuntos tonales (1,2,7), (8,2,3), y (0,11,6) pertenecen a la misma clase de conjuntos (0,1,6).
Allen Forte, tal vez el más importante teórico de la música de nuestro tiempo, catalogó cada Forma Básica de conjuntos de 3 a 9 elementos y las ordenó de acuerdo a su contenido de intervalos. Dio a cada Forma Básica un nombre, como "5-35". En este nombre, el primer número es un índice que indica el número de notas del conjunto, y el segundo número fue asignado por el Dr. Forte.
El complementario de un conjunto consiste en todas las notas que no pertenecen al conjunto. Los conjuntos complementarios tienen el mismo número de catálogo en el sistema de clasificación de Forte (por ejemplo, el complementario de 5-35 es 7-35).
Aquí puedes ver una breve lista de algunos números de Forte populares:
| Forma Básica | Número de Forte | |
|---|---|---|
| Tricordio Vienés | (0,1,6) | 3-5 |
| Tríadas Mayor y Menor | (0,3,7) | 3-11 |
| Escalas Mayor y Menor | (0,1,3,5,6,8,10) | 7-35 |
| Escala octatónica | (0,1,3,4,6,7,9,10) | 8-28 |
La calculadora encuentra automáticamente el Número de Forte de cada conjunto. Para ver una lista completa de los números de Forte, pulsa en el botón "Escala...", y elige "Números de Forte" como criterio para seleccionar un conjunto predefinido.
Los intervalos que son inversos uno del otro están en la misma "clase de intervalo". (Los intervalos 1 y 11 están en la clase 1; 2 y 10 en la clase 2; 3 y 9 en la clase 3, y así sucesivamente.) Sólo hay 6 clases diferentes de intervalos, desde el 1 al 6. Así, el intervalo entre las notas 2 y 9 es 7 y pertenece a la clase de intervalos 5. Observa que los intervalos no tienen relación con las notas, sino con la distancia entre ellas.
El Vector de Clase de Intervalo es una disposición ordenada de 6 números correspondientes al número de apariciones de cada clase de intervalo encontradas en un conjunto tonal.
Por ejemplo, considera el conjunto (2,3,9). Aparece una vez la clase de intervalo 1 (entre 2 y 3), una vez la clase de intervalo 6 (entre 3 y 9) y una vez la clase de intervalo 5 (entre 2 y 9). Así, el vector de clase de intervalo correspondiente a (2,3,9) es <1,0,0,0,1,1>.
¿Para qué se utiliza?
El vector de clase de intervalo ofrece un resumen del contenido interválico de un conjunto y, por ello, una fiable indicación sobre su sonido.
T(n) indica otro conjunto cuyas notas han sido trasladadas n semitonos respecto al original. Por ejemplo, si el conjunto original es (1,2,7), entonces T(3) deberá ser (4,5,10).
T(n)I significa lo mismo, pero con respecto a la inversión del original.
Para trasladar el propio conjunto, utiliza los botones "<" y ">".
Cada matriz normal se genera como diferencia (T-matriz) o suma (I-matriz) de un conjunto consigo mismo, elemento a elemento. Por ejemplo, la matriz normal (I-matriz) generada por el conjunto (2,3,9) es:
| 2 | 3 | 9 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 5 | 11 |
| 3 | 5 | 6 | 0 |
| 9 | 11 | 0 | 6 |
Puedes usar esta matriz para determinar si existe o no una "inversión de sí mismo", y si es así, dónde. Por "inversión en sí mismo
Para un conjunto con x notas, si existe un número n que aparece exactamente x veces en la matriz, entonces T(n)I contendrá las mismas notas que el conjunto original. Toma, por ejemplo, el
conjunto (0,1,2,5,9):
| 0 | 1 | 2 | 5 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 5 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 6 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 7 | 11 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 10 | 2 |
| 9 | 9 | 10 | 11 | 2 | 6 |
Como (0,1,2,5,9) tiene 5 elementos, buscaremos algún número en el interior de la matriz que aparezca 5 veces. En este caso, sólo aparece uno de estos números: el 2. Esto significa que T(2)I nos devuelve el conjunto original: T(2)I de (0,1,2,5,9) es (2,1,0,9,5). Los compositores y teóricos llaman a esta propiedad "combinabilidad".
Para generar la matriz de un conjunto, pulsa el botón "Matrices...". Aparecerán nuevos botones que te permitirán elegir entre la forma normal de la matriz, o invertir previamente el conjunto original.
Sugerencia: Si un conjunto es "combinable", podrás pulsar el botón "Rotar" las veces suficientes para que un mismo número aparezca en la diagonal secundaria (arriba derecha, abajo izquierda) de la matriz. En el ejemplo anterior, si pulsamos "Rotar" cuatro veces, esa diagonal aparece cubierta por el número 2.
| 9 | 0 | 1 | 2 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 6 | 9 | 10 | 11 | 2 |
| 0 | 9 | 0 | 1 | 2 | 5 |
| 1 | 10 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| 2 | 11 | 2 | 3 | 4 | 7 |
| 5 | 2 | 5 | 6 | 7 | 10 |
Applet creada por Jay Tomlin, 1997.